Réel, imaginaire pur (1) - Corrigé

Énoncé

Soit `x \in \mathbb{R}` . On pose `z=(x+i)(x+6-i(x-4))` .

1. Déterminer la (ou les) valeur(s) du réel `x` pour que `z` soit un nombre réel.

2. Déterminer la (ou les) valeur(s) du réel `x` pour que `z` soit un imaginaire pur.

3. Existe-t-il une (ou plusieurs) valeur(s) du réel `x` pour que `z` soit nul ?

Solution

On a `z= x^2 + 7x - 4 + i (-x^2 + 5 x + 6)` .

1.  `z` est un nombre réel si et seulement si `\text{Im}(z)=0`
si et seulement si `-x^2 + 5 x + 6=0`
si et seulement si `x=-1` ou `x=6` .

2.  `z` est un imaginaire pur si et seulement si `Re(z)=0`
si et seulement si `x^2 + 7x - 4 =0`
si et seulement si `x= - \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}` ou `x= - \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}` .

3. `z=0` si et seulement si `Re(z)=0` et `Im(z)=0`
si et seulement si ( `x=-1` ou `x=6` ) et ( `x= - \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{65}}{2}` ou `x= - \frac{7}{2} - \frac{\sqrt{65}}{2}` ).
Donc pour aucune valeur du réel `x` le nombre complexe `z` est nul.